Theo phương án số 1, nhà vua cho anh ta nhận ngày thứ nhất một đồng, ngày thứ hai 2 đồng, ngày thứ ba 3 đồng v v... Mỗi ngày, số tiền trả tăng thêm một đồng(Đồng bảng là một loại tiền cổ có giá trị bằng 12 xu). Theo phương án số 2, nhà vua cho anh ta nhận 1 xu trong ngày thứ nhất, 2 xu trong ngày thứ hai, 4 xu trong ngày thứ ba,, số tiền phải trả cứ tăng gấp đôi sau mỗi ngày.

Hỏi phương án nào có lợi cho người nông dân ? Đương nhiên chúng ta có thể trả lời câu hỏi trên theo một cách đơn giản là cộng số tiền phải trả từng ngày lại. Nhưng có một phương án khác nhanh hơn nhiều. Theo phương án 1, tổng số tiền thưởng là tổng các số nguyên từ 1 đến 30. Tính bằng cách nhân 30 với 31, rồi chia cho 2, ta sẻ có 465 đồng bảng.
Theo phương án 2, lần trả thứ hai là 2 xu, lần trả thứ ba là 2x2 hay 22, lần thứ tư là 23, nói tóm lại mỗi lần trả là luỹ thừa cứ lớn dần của 2, và lần trả cuối cùng là 229. Một phương án để tính nhanh số tiền thưởng ấy là: Trước hết hãy tính hai lần số tiền thưởng. Sau đó trừ bớt đi cho số tiền thưởng cần tính.
Sau đây là số tiền thưởng được gấp đôi lên:
2+ 22 +23 +24 +...+ 228 +229 +230
Và đây là số tiền thưởng cần tính:
1+2+ 22 +23 +...+ 228 +229+
Khi thực hiện phép trừ rõ ràng các số tiền trả bằng nhau sẻ triệt tiêu nhau và cuối cùng ta được 230 -1 . có thẻ tính nhanh số ấy là: 8947848 đồng bảng.
Qua đó chúng ta nhận thấy rằng một lượng sẻ tăng rất nhanh khi nó tiếp tục tăng gấp đôi lên nhiều lần. Hãy suy nghĩ kĩ bài toán ấy bằng cách giải bài toán sau : Một con amip được đặt trong một cái lọ rỗng. sau một giây nó nhân thành hai amip; mỗi amip con ấy đề lớn bằng mẹ . Sau một giâp mỗi con amip cũng nhân thành hai , trong khi mỗi amip tự phân, số lượng amip và thể tích của chúng tăng gấp đôi sau mỗi giây. Sau một giờ thì cái lọ đầy amip. sau bao nhiêu lâu thì cái lọ chỉ mới đầy một nữa?

                                                        Theo http://vntoanhoc.com