Bài toán : Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN (hình vẽ). Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm². Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

                                                (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh - TTT số 35)

Giải : Ta có S_NPD = 1,5 x S_MPN (có đáy DP = 1,5 x MN ; cùng đường cao là chiều rộng hình chữ nhật). Hai tam giác này có phần chung là tam giác NOP nên : S_DOP = 1,5 x S_MON, mặt khác S_DOP - S_MON = 3,5 cm² nên S_DOP = 10,5 cm², S_MON = 7 cm².

Lại có : S_DOP = S_POC (cùng đường cao hạ từ O xuống DC, đáy DP = PC) nên S_DOC = 10,5 + 10,5 = 21 (cm²)  : (1).

Tương tự có : S_AOM = S_MON = S_NOB (chung đường cao hạ từ O xuống AB và đáy AM = MN = NB) nên : S_AOB = 7 + 7 + 7 = 21 (cm²)   (2). Kẻ EF song song DC ; IK vuông góc với EF và vuông góc với cạnh hình chữ nhật qua O.

Ta có : S_AIO = S_AEO ; S_BOI = S_BOF nên S_AOE + S_BOF = S_AIO + S_IOB = 21 cm²   (3).

Tương tự :

S_EOD + S_FOC = S_DOK + S_COK = 21 cm²   (4). S_ABCD = 21 + 21 + 21 + 21 = 84 (cm²).

Các bạn xem lời giải trên thật kĩ và... bạn thấy thế nào ?

Trần Xuân Dần

(Phòng GD - ĐT Thanh Miện, Hải Dương)

Bài giải trên sai ở chỗ:

 Ta có S_NPD = 1,5 x S_MPN (có đáy DP = 1,5 x MN ; cùng đường cao là chiều rộng hình chữ nhật). Hai tam giác này có phần chung là tam giác NOP nên : S_DOP = 1,5 x S_MON

 Hai tam giác có tỉ lệ là 1,5 thì sau khi bớt đi 1 phần diện tích bất kì ở cả 2 tam giác thì 2 phần diện tích còn lại không thể có tỉ lệ như ban đầu là 1,5 nữa.

Bài này giải như sau:

Ta có Diện tích DOP - Diện tích MON = 3,5 (cm vuông)

=>  Diện tích DNP - Diện tích MPN = 3,5 (cm vuông)

Hai tam giác này có phần chung là tam giác NOP 

Diện tích DNP bằng 1/4 diện tích ABCD

Diện tích MPN bằng 1/6 diện tích ABCD

=>  1/4 diện tích ABCD - 1/6 diện tích ABCD = 3,5 (cm vuông)

=> 1/12 diện tích ABCD = 3,5 (cm vuông)

=> Diện tích ABCD = 3,5:1/12= 42 cm vuông.

Nguồn: http://toantieuhoc.violet.vn