SỞ GD – ĐT THÁI BÌNH
TRƯỜNG THPT NĐC




ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2008 – 2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút

Bài I (3 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài II (3 điểm) Cho hàm số f(x) =
.
Biết rằng f(x) > 0
, chứng minh rằng
> 0.
Bài III(3 điểm)
Giải bất phương trình:

Bài IV(3 điểm)
Giải hệ phương trình:

Bài V(3 điểm) Cho các số dương
có tích bằng 1. Chứng minh rằng:


Bài VI (3 điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. M, I lần lượt là trung điểm BC và SA, J là điểm chia chia đoạn SB theo tỉ số bằng -2.
Biết BC = 2a, SA = SC = SM =
a, (ABC = 60o.
1/ Mặt phẳng (P) chứa IJ và song song với SC chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
2/ Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng AB.
Bài VII (2 điểm)
Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:

1/ Chứng minh dãy số (xn) bị chặn.
2/ Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó.


GIÁO VIÊN RA ĐỀ GIÁO VIÊN THẨM ĐỊNH HIỆU TRƯỞNG









trường thpt nguyễn đưc cảnh

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG LỚP 12 THPT
MÔN : TOÁN
NĂM HỌC 2008 – 2009

Bài
Câu

















I&
II























1
(3,0)


Đồ thị cắt Ox tại 2 điểm pbiệt
<==> pt f(x) = x2 – 2mx + m = 0 có 2 nghiêm pb khác –m
<==>

<==> m




0,5

0,5



Gọi 2 nghiệm là x1, x2 theo viet

Ta có y’(x) =

Suy ra y’(x1) =
; y’(x2) =

Hai tiếp tuyến vuông góc < == > y’(x1).y’(x2) = -1
<==>
.
= -1
<==> ...
<==> m2 – 5m = 0
<==> m = 0 (loại) V m = 5(thoả mãn)
Kết luận m = 5

0,5




0,5

0,5





0,5






2
(3,0)
Xét hàm số: F(x) =

==> F’(x) =
= f(x) > 0
Vậy F(x) đồng biến
Suy ra a0.
= F(
) > F(0) = 0 nên a0 > 0 (đpcm).



1,0

2,0














III

IV

V
1
(3,0)

(điều kiện x > 0) <==> 5t < 2( t2 -1+2 ) (Với t =
)
< == > 2t2 – 5t +2 > 0 < == > t<1/2 (loại) V t > 2
Giải t > 2 <==>
<==> 0


1,0
1,0

1,0


2
(3,0)

==>
(*)
Xét f(t) =
==> f’(t) = 1+
ln2007 > 0 f(t) đồng biến nên (*) ==> x = y
Suy ra
<==> ln(
(**)
Xét g(x) = ln(
==> g’(x) =
< 0
g(x) nghịch biến và g(0) = 0 nên (**) co nghiệm duy nhất x = 0
Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0.

0,5


1,5


0,5


0,5


3
a2 + 2b2 + 3 = (a2 + b2)+ (b2 + 1) + 2
2(ab + b + 1) Vậy:


Có [=] khi a = b = c = 1.
0,5

1,5