SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
----------------------- -------------------------------------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG A VÒNG 1.
SBD : (180 phút, không kể thời gian giao đề)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Bài 1: (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng mỗi phương trình sau đây có một nghiệm thực duy nhất
cosx = x (1) ; sin(cosx) = x (2) ; cos(sinx) = x (3).
b/ Gọi ( là nghiệm của (1), gọi ( là nghiệm của (2), gọi ( là nghiệm của (3).
Chứng minh rằng: (.(.ln( < (.(.ln(<(.(.ln(.


Bài 2: (2 điểm) Định m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2
là lớn nhất.


Bài 3: (2 điểm) Cho hình vuông cố định. Tìm tập hợp những điểm M trong hình vuông đó và thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh của hình vuông cùng xuất phát từ một đỉnh bằng bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo của hình vuông không đi qua đỉnh đó.

Bài 4: (4 điểm)
a/ Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm:


b/ Tìm m, n ( N* để phương trình:
có nghiệm.





















SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
-----------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
BẢNG A – VÒNG 1


Bài 1: (2.0 điểm)
Câu a ( 1đ)
cosx = x ( x – cosx = 0. Xét f(x) = x – cosx. Do -1 ( cosx ( 1 nên chỉ cần xét
.
f’(x) = 1 + sinx > 0
nên f đồng biến trên
.
f(0) < 0; f(1) > 0.
Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm và chỉ có một nghiệm.
Các phương trình còn lại chứng minh tương tự.
Câu b ( 1đ)
Nhận xét
. Viết lại
.
Xét
với x ( (0;1).
, g đồng biến trên (0;1).
Chứng minh:
:
Giả sử ( ( ( lúc đó ( = sin(cos() < cos( ( cos( = ( vô lý.
Giả sử ( ( ( lúc đó ( = sin(cos() > cos ( ( cos( = ( vô lý.
Vậy ta có:
.

Bài 2: (2.0 điểm)
f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2 ( 0,

f(x,y,z) = 0 (
có nghiệm (x;y;z).
Lấy (2) trừ (1) ta có: (m + 2)y - (m + 2)z + 1 = 0 (4)
Nhân (1) với (2) ta có: 2x - 2y + 2mz + 2 = 0 (5)
Lấy (3) trừ (5) suy ra: 4y - (m + 4)z – 1 = 0 (6)
Từ (4) và (6) suy ra: m(m + 2) ( 0 có nghiệm y và z.
Rồi thế vào (1) có nghiệm x. Hệ (1), (2), (3) có nghiệm.
Do đó: khi m ( 0 và m ( 2 thì mìn(x,y,z) = 0.
Nếu m = -2, khi đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpki ta có:
f(x,y,z) = (x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2
=
[12 + (-1)2 + 02][(x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2] (
(-1)2 =
.