Một số đề Toàn Khó(sưu tầm và tổng hợp từ nhiều nguồn)
T1/268. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thoả điều kiện: với mỗi số nguyên dương m < 1999 đều tồn tại số nguyên k sao cho
T2/268. Giải phương trình: x5 - 15x3 + 45x - 27 = 0.
T3/268. Chứng minh bất đẳng thức sau với n nguyên dương:

T4/268. Cho hai tam giác đồng dạng ABC và A`B`C` (các đỉnh mỗi tam giác đều viết ngược chiều kim đồng hồ). Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AA`, BB`, CC`. Chứng minh (ABC đồng dạng với (A1B1C1.
T5/268. Dùng 3 hình tròn đường kính d có thể phủ kín hình vuông có cạnh bằng 1 được không khi:
a) d = 1? b) d = 1,04?
T6/268. Dãy số (an) được xác định bởi: a0 = a, a1 = b, an+2 = dan+1 - an, trong đó a, b là hai số nguyên khác 0 còn d là số thực. Tìm mọi giá trị của d để (an) là số nguyên, với mọi n = 0, 1, 2, ...
T7/268. Tìm giới hạn của Sn/n2 khi n ( +(, trong đó Sn =
T8/268. Tìm tất cả các tập A gồm hữu hạn số thực có tính chất sau: nếu x thuộc A thì f(x) = x3 - 3|x| + 4 cũng thuộc A.
T9/268. Gọi a, b, c, r, R lần lượt là 3 cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác.Chứng minh:
a(b+c-a)2 + b(c+a-b)2 + c(a+b-c)2 ( 6R2(2R - r). Đẳng thức xảy ra khi nào?
T10/268. Cho tứ diện ABCD với BC = a, CA = b, AB = c, DA = a`, DB = b`, DC = c`. Gọi ha, hb, hc, hd lần lượt là các đường cao của tứ diện phát xuất từ các đỉnh A, B, C, D. Gọi r và R tương ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện. Chứng minh:

Đẳng thức xảy ra khi nào?
T1/269. Xét số tự nhiên An = 19981998...1998 được viết trong hệ số thập phân bởi n số 1998 nối tiếp nhau.
a) Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên dương n < 1998 sao cho An chia hết cho 1999.
b) Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn An chia hết cho 1999. Chứng minh rằng 1998 chia hết cho 2k.
T2/269. Giải phương trình: 1.
T3/269. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = (1+x)(1+ (1+y)(1
trong đó các số dương x, y thoả mãn x2 + y2 = 1.
T4/269. Cho tứ giác lồi ABCD. Lấy điểm M bất kỳ trên đường chéo AC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AD tại Q. Chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
T5/269. Cho đường tròn (O, R) với hai đường kính vuông góc AB và CD. Lấy điểm P trên đường tròn đó. Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ P đến các đường thẳng AB và CD. Tìm quỹ tích các điểm M khi P chuyển động trên đường tròn.
T6/269. Cho hai số nguyên dương m và n sao cho n+2 chia hết cho m. Hãy tính số các bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thảo mãn điều kiện: tổng x+y+z chia hết cho m, trong đó mỗi số x, y, z đều không lớn hơn m.
T7/269. Cho số tự nhiên n ( 2 và hai số thực dương a, b sao cho n-1 < a/b ( n. Xét các dãy số thực x1, x2, ..., xn thoả mãn điều kiện: x1 + x2 + ... + xn = a, trong đó 0 < xi ( b, (i = 1, 2, ..., n. Tính GTLN, GTNN của tích P = x1.x2...xn và xác định tất cả các dãy x1, x2, ..., xn ứng với GTLN, GTNN đó.
T8/269. Tìm tất cả các hàm số f: R ( R thoả mãn điều kiện: f